关于Fourier、Laplace,Z transform的精辟解释

1. 厘清一个数学概念:

积分运算与内积(点积)运算在形式上是类似的(用等价可能太强了)他们都可以看成是对乘积的求和。

 

 

而在线性代数中,投影的概念也可以用内积的形式来表示。因此,积分运算可以看作是一种投影。如果我们称为系数,为基的话,那么显然对于上述内积表示,可以理解为将通过基线性表出,系数就是坐标,或者说将投影在了这组基上。

需要说明的是:可以理解为某个信号向量在以时间轴中的各个时间点上的投影。这一个一个的时间点就是基。的取值就是这个信号向量在时域(构成的集合)上的(坐标)表示。

2. Fourier, Laplace, Z transform

这几种变换在形式上,都可以表示为积分。其中:

  1. Fourier Transform:

    这里可以完全从数学的形式上看待这个式子,把看成是这样一个一般的函数,现在我们把目光关注到上,这是自变量只能来自复平面的虚轴(实部为)。

     

  2. Laplace Transform:

    换言之,如果傅里叶变化的物理意义是将信号分解为等幅正弦信号的叠加的话,拉氏变换就是讲信号分解为增幅正弦信号的叠加。类似的,把看成,这时自变量可以是复平面上的任意一点。
    还有一种理解方法:是一个复变函数,这个复变函数在虚轴上的取值就是的傅里叶变换。

     

  3. Z Transform: Z变换是针对一个采样序列来说的。假设一个时域信号为采样周期采样,那么采样后的采样信号可以表示为:

    这个采样信号经过Laplace变换后:

    进行代换,令,定义在Z域内映射为:

    Z变换就是对采样后的信号进行的一种在Z平面上的映射。

     

由于指数的存在,这些变换都和圆周有着千丝万缕的联系。

 

 

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